6.5 薄膜干涉

来源： 考纲 §6（另见光学）

现象与机制

肥皂泡、水面油膜、增透膜（眼镜、镜头）、蝴蝶翅膀、CD 上的虹彩。

机制：光一部分在薄膜上表面反射，一部分进入薄膜、在下表面反射后再射出。两束反射光走过的路有一段错位，叠加在一起——发生干涉。某处是亮还是暗，取决于两束波到达时是同步（峰对峰）还是反相（峰对谷）。

条件

这段「错位」用相位差 $\mathrm{\Delta }\phi$ 来度量。$\mathrm{\Delta }\phi \dots$ 两束反射光的相位差；$n=0,1,2,\dots$ 级数（✎ 别与下文的折射率 $n$ 混淆！）。

干涉	条件	图像
相长	$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$	峰遇峰 → 亮
相消	$\mathrm{\Delta }\phi =(2n+1)\pi$	峰遇谷 → 暗

✎ 一个完整波长 $\lambda$ 对应相位 $2\pi$。相长即：错位是 $\lambda$ 的整数倍（$\mathrm{\Delta }\phi =2\pi n$），峰与峰重合。相消即：错位是半整数倍（$\mathrm{\Delta }\phi =\pi ,3\pi ,\dots$），峰遇谷而相互抵消。

相位跃变与光程差

$\mathrm{\Delta }\phi$ 由两件事共同造成：(1) 下面那束光穿过薄膜的几何绕行，(2) 反射时可能出现的相位跃变。

(1) 光程差 $2nd$ 从何而来？ 逐步看（垂直入射时）：

1. 下面那束光要在薄膜里下去再上来——几何上多走 $d$（下）$+d$（上）$=2d$。$d\dots$ 膜厚。
2. 但光在膜里更慢：波长缩短为 ${\lambda }_{\text{介质}}={\displaystyle \frac{\lambda }{n}}$。$n\dots$ 薄膜折射率。干涉看的不是几何路程，而是光程——即几何路程乘以 $n$（折算成里面装得下多少个真空波长）。
3. 光程差： 几何绕行 $\times n$：$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }{s}_{\text{opt}}=2nd}}$。（斜入射时还要乘一个角度因子；垂直入射恰为 $2nd$。）

(2) 相位跃变。 在光密介质（$n$ 更大）处反射，相位会额外跃变 $\pi$（＝半个 $\lambda$）；在光疏介质处则不跃变。例如肥皂泡（空气 → 水 → 空气）：上表面（空气 → 水，进入光密）有跃变，下表面（水 → 空气，进入光疏）无跃变。这一个相位跃变把条件反了过来——所以极薄的肥皂膜（$d\to 0$，即 $\mathrm{\Delta }{s}_{\text{opt}}\to 0$）在反射光中是暗而非亮：仅凭这一个相位跃变就已造成相消。

相位跃变遵循一条波动学定理（对任何波都成立，绳波也一样）：

在固定端，波峰被反射为波谷（相位跃变 $\pi$）。在自由端，波峰被反射为波峰（无跃变）。

对光而言：在「空气 → 玻璃」界面（光密＝「固定端」）反射跃变 $\pi$；「玻璃 → 空气」界面（光疏＝「自由端」）不跃变。

✎ 算一个应用——λ/4 增透膜。 玻璃（$n\approx 1,5$）上镀一层折射率居中的薄膜（如 MgF₂，$n\approx 1,38$）：因 $n_{\text{空气}}<n_{\text{膜}}<n_{\text{玻璃}}$，两个界面都是向光密介质反射 → 两束反射波都跃变 $\pi$ → 相位跃变相互抵消，只剩光程差 $2nd$ 起作用。要让两束反射光相消，需 $2nd=\frac{\lambda }{2}$，即 $d={\displaystyle \frac{\lambda }{4n}}$——四分之一波长膜（按人眼最敏感的绿光 $\lambda \approx 550$ nm 设计：$d\approx 100$ nm）。被消掉的能量去哪了？ 它并未消失，而是进入了透射光——这正是镀膜的目的（让更多光进入相机/眼睛/太阳能电池）。由于条件只对一个波长严格成立，残余反光呈紫红/紫色（红、蓝成分仍在）。

牛顿环（Newton'sches Farbenglas）

来源： Mappe（Friedl）第 30–31 页

把一块微凸的会聚透镜放在平玻璃板上，两者之间形成一层向外渐厚的薄空气层。用单色光（只含单一波长的纯色光，例如激光）垂直照射，会看到同心的明暗环（反射光中央暗，透射光中央亮——两幅图像互补）。用蓝光时环比红光更密→ 蓝光波长更短。

明暗取决于空气层的厚度 $d$（相位跃变只发生在下界面「空气 → 玻璃」）：

$$\text{反射光暗纹：}2d=2k\cdot \frac{\lambda }{2}\text{透射光暗纹：}2d=(2k+1)\frac{\lambda }{2}(k=0,1,2,\dots )$$

环半径。 设透镜曲率半径为 $R$、环半径为 $r$，由射影定理（圆几何中的一条定理：直角三角形中，斜边上的高的平方等于它在斜边上分出的两条线段之积）$r^2=d(2R-d)\approx 2Rd$（因 $d\ll R$），即 $d=r^2/(2R)$。对反射光中第 $k$ 个暗环，$2\cdot \frac{r^2}{2R}=2k\cdot \frac{\lambda }{2}$，于是：

$$\boxed{{\displaystyle \lambda =\frac{r^2}{k\cdot R}}}$$

已知 $R$，量出环半径即可得到与光栅光谱（用光栅——许多细密、彼此紧靠的狭缝——经衍射测出的波长）相同的波长——一个独立的验证。

✎ 反过来——精密测长。 已知 $\lambda$，便可测量极小长度。两块玻璃板一边相接、另一边夹一根头发，形成空气劈；用红光（$\lambda =650$ nm）照射出现暗纹。若第 41 条纹在头发处（$k=40$），则头发厚度 $d=40\cdot \frac{650\cdot {10}^{-9}}{2}\text{m}=13\cdot {10}^{-6}$ m。1960 年国际规定：1 米 = 氪-86 橙红色谱线的 1 650 763,73 个波长——一个可复现的长度定义（直到 1983 年改用光速定义）。

颜色依赖与应用

不同波长满足条件的程度不同 → 有的颜色相长、有的相消 → 虹彩。

✎ 为什么颜色随视角变化？ 斜入射时光程差会变（$\mathrm{\Delta }s=2nd\cos \beta$，$\beta$ 为膜内折射角）：看得越斜，光程差越小 → 相长条件由更短的波长满足 → 转动肥皂泡/蝴蝶翅膀时颜色向蓝偏移。正是这种视角依赖把结构色与颜料色区分开（颜料从任何角度看都一样）。

应用： 增透膜（眼镜、相机、太阳能电池）、激光器中的光学镀膜、自然界的结构色（蝴蝶、孔雀羽、甲虫）。

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